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Construcción de
INSTRUMENTOS TRADICIONALES
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Lo anterior obliga a toda persona interesada en la laudería a entender como funciona, lo que podríamos llamar la parte más importante del instrumento: el diapasón y sus trastes. Existen varios métodos para definir la ubicación de estos dispositivos, se emplean reglas con misteriosas escalas, se aplican operaciones numéricas con cantidades de origen desconocido como el 18, la raíz doceava de dos y listas de coeficientes. El presente artículo, tiene el objetivo de presentar las bases y el desarrollo de estos métodos (para mí fue una aventura descubrirlos), se emplea álgebra elemental y se espera que la explicación sea entendible y sencilla . En caso de requerir solamente la receta para ubicar los trastes, se recomienda hacer uso de los cuadros incluidos, donde aparece una lista de coeficientes y una aplicación en un caso real. EL DIAPASÓN El sonido que obtenido de una cuerda sometida a una tensión constante es función de su longitud “vibratil”, es decir de la distancia del borde del apoyo situado sobre la caja de resonancia, el puente, al borde del apoyo situado cerca del extremo del mástil, la ceja. Básicamente hay dos formas no excluyentes de obtener escalas musicales en un cordófono: a) Tener una cuerda con una longitud y grosor determinados para cada sonido, como ocurre en arpas, salterios y pianos. A la izquierda en la foto aparece una colombina,que es un ejemplo de estos instrumentos. b) Disponer de un mástil contra el cual oprimir la cuerda para hacer variar su tamaño vibratil., a la derecha en la ilustración se tiene una concha que ejemplifica a estos instrumentos.
Figura 1. Colombina y Concha La parte donde aprietan los elementos sonoros se llama diapasón y debe ser de un material duro para resistir la vibración de las cuerdas y el roce de los dedos Este dispositivo permite que el violín y la guitarra, junto con los instrumentos emparentados a ellos, puedan emitir los sonidos de escalas completas con unas cuantas cuerdas. En los instrumentos con mástil que se tocan frotando las cuerdas, los sitios donde debe oprimirse la cuerda no están marcados, el ejecutante debe conocer su ubicación; en cambió en los que se pulsan las cuerdas, se tienen aditamentos que indican los sitios donde deben apretarse las cuerdas. LOS TRASTES Si en una cuerda tensa, se apoya un objeto duro (hueso, madera o metal entre otros), al hacerla sonar se notará que la entonación cambia en relación con la distancia existente entre el objeto y el puente. Este principio, que se usa elementalmente en la ejecución de los monocordios de percusión, es la base del funcionamiento de los trastes Como traste, se define a una tira sólida que sobresale perpendicularmente sobre el diapasón a una altura ligeramente menor que la de la ceja; apretar el elemento sonoro hacia el diapasón en el espacio ubicado inmediatamente detrás de la tira, convierte a ésta en un apoyo a partir del cual la cuerda puede vibrar; es como si se transportara la ceja a ese sitio. Para facilitar la presentación, en lo que sigue cuando se diga que una cuerda es oprimida en un traste determinado, debe sobrentenderse que se está apretando en el espacio ubicado inmediatamente atrás de éste, es decir hacia la ceja. Al conjunto de trastes presentes en un diapasón, se le denomina entrastado; al parecer estos apoyos son mas necesarios en instrumentos con cuerda que se pulsa, que en los que se frota. No obstante, antiguamente, hubo instrumentos de cuerda frotada que también se entrastaron (Contreras , 1988). Antes del siglo IX, los entrastados se hacían con cordeles atados en el mástil, sobre todo en los instrumentos con cuerdas de tripa; los amarres podían recorrerse para compensar los diámetros irregulares de éstas. En instrumentos dotados de cuerdas metálicas, se prefería colocar tiras de madera, hueso o metal dentro de ranuras excavadas en el diapasón (Cumpiano y Natelson, 1993).
Figura 2. Fragmento de una
ilustración del Siglo XVI que muestra un entrastado por amarres, Actualmente se usan unas tiras metálicas de latón o de níquel y plata, las cuales tienen una sección en forma de “T”, con un domo en la parte superior y en la inferior una pata con salientes que les permiten aferrarse a la madera del diapasón.
CONSIDERACIONES Y SIMBOLOGÍA La colocación de los trastes en el diapasón, requiere de realizar algunas consideraciones relacionadas tanto con el funcionamiento físico del instrumento como del tipo de división del tono que se use en la música a interpretar, básicamente se tiene: I. Cualquier distancia entre el puente y la ceja puede tomarse como la unidad. II. El conteo de los trastes se realiza a partir de la ceja del instrumento, el primero será el más cercano a esta y el último el más cercano al puente. III. En el hemisferio occidental y en la música actual, los tonos se dividen en mitades, es decir en semitonos; en concordancia, el sonido obtenido con la cuerda oprimida en un traste, deberá ser un semitono más agudo, que correspondiente al tenerla apretada en el traste inmediatamente anterior. IV. Si la tensión se mantiene constante, el sonido obtenido de una cuerda se incrementa en una octava cuando su longitud se reduce a la mitad, por lo que entre el sonido inicial de la cuerda y el que corresponde a la mitad de su longitud hay una distancia de 12 semitonos. V. Existe una constante de reducción de la longitud de la cuerda asociada al paso del sonido de un semitono al siguiente. VI. En los cálculos se emplean todos los decimales que se utilizan en EXEL, en el texto las cantidades se han redondeado a tres cifras por comodidad, en el cuadro 1 se presentan las constantes determinadas completas. Estos supuestos pueden expresarse mediante literales, con lo que se define la simbología necesaria requerida para el desarrollo de las ecuaciones requeridas: Del primer supuesto se tiene: D = Distancia del puente a ceja como unidad = 1 (1) Esta consideración facilita la deducción y aplicación de formulas, pues el entrastado se obtiene como una ubicación proporcional medida desde el puente. Como se verá posteriormente (Cuadros 2 y 3), basta multiplicar esta proporción por la distancia real para definir la localización del traste, dicha dimensión a se define como: D’= distancia del puente a la ceja (al borde interno de estos apoyos) (2) Con respecto al segundo supuesto, hace falta definir un subíndice “n”, que exprese el número de traste: n = número de traste contado a partir de la ceja. El supuesto tercero requiere de una literal “L”, correspondiente a la distancia del puente al traste señalado por el subíndice n, por lo que: Ln = Distancia del puente al n’simo traste, lo cual corresponde a un punto en el diapasón donde se obtenga un sonido un “n” semitonos más agudo que el obtenido con la longitud D. Así, L1 corresponde a la distancia al primer traste y L12 al doceavo; Es importante aclarar que L 0 es la distancia inicial, es decir: L 0 = D =1 El cuarto supuesto se expresa fácilmente con la simbología definida hasta aquí: L12 = D / 2 = 1 / 2 = 0.5 (3) El último supuesto presentado se expresa así: L n = L n-1 – L n-1 / K (4) Donde: K = Constante de cambio en la longitud de una cuerda al pasar de un semitono al siguiente. De la aplicación de la fórmula se tiene: L1 = D – D/K , L2 = D – L1 / K y consecuentemente: L12 = D – L11 / K y así sucesivamente.
ENTRASTADOS MEDIANTE POTENCIAS El método consiste en disponer de una cantidad, la cual al multiplicarla por si misma el número de veces correspondiente al traste requerido, produce una número que corresponde a la ubicación proporcional del traste. Aplicando la ecuación 4 para el primer traste se tiene; L1 = L 0 - L 0 / K = D – D / K Desarrollando está ecuación se tiene: L 1= ( DK – D ) / K = ( K – 1 ) D / K L1 = (( K – 1 ) / K ) D (5) Si se define a “J”, como una relación de constante donde: J = (K – 1 ) / K (6) Y se sustituye esto en la expresión 5, se llega a: L1 = J D (7) Para el siguiente traste usando la ecuación obtenida, se tiene: L2 = J L1 Colocando el valor de L1 de la misma ecuación 6 , el resultado es : L2 = J (J D)= J 2 D Generalizando lo obtenido para cualquier traste, se llega a un resultado interesante: L n = J n D (8) La formula indica que hay un cantidad “J”, que elevada a la potencia correspondiente al número de semitonos en que se quiere hacer variar el sonido inicial, da la distancia en que se ubica el traste respectivo, medida desde el puente. Para un cambio de sonido en una octava, es decir 12 semitonos, a partir de la formula obtenida, se tiene que: L 12 = J 12 D (9) Con fundamento en el primero y el cuarto supuesto presentados, se tiene que para obtener un sonido sea una octava más agudo, la cuerda debe medir la mitad, es decir ser apretada en el 12ro traste, por lo que sustituyendo los valores asignados en las ecuaciones 1 y 3 en la 9, se obtiene el valor de J: L12 =J12 D equivale a 0.5 = J12 (1) por lo tanto: 0.5 = J12 y consecuentemente J = 0.5 1 /12 Por lo tanto J = 0.944 (10) El uso de la cantidad obtenida se presenta en el cuadro 2, consiste simplemente en elevarla a la potencia correspondiente al número de traste requerido, para obtener la ubicación proporcional de éste dentro del diapasón, pues en la fórmula 8 se tiene que D =1. Basta con medir la distancia del puente a la ceja para obtener D’, con lo que la formula citada se transforma en : L n = J n D’ , cuya aplicación se ha realizado en el cuadro 3, donde se muestran los resultados hasta el traste 24 correspondiente a una segunda octava aguda. ENTRASTADOS MEDIANTE La constante de reducción incluida en la ecuación 4, puede calcularse a partir del valor de J (ecuación 10) y de su definición (ecuación 6), con lo que se tiene: J = 0.944 y consecuentemente ( K – 1) / K = 0.944 Eliminando el denominador del primer miembro, se inicia el despeje: K – 1 = 0.944 K Después, al factorizar se tiene: ( 1 – 0.944 ) K = 1, al efectuar las operaciones : 0.056 K = 1 , con lo que finalmente se llega a K = 1 / 0.056, es decir: K = 17.817 (11) Esta constante es el divisor de la fracción en que se reduce el tamaño vibrátil de una cuerda para sonar un semitono más aguda. Es importante mencionar que redondeando a enteros, se obtiene: K ’ = 18 (12) Que es de la misteriosa cantidad empleada en el cálculo de entrastados con la ecuación 4, en el cuadro 2, se puede ver que con su aplicación se obtienen resultados cercanos a los logrados con K. Por la estructura de la fórmula 4 donde se emplean K o K’, es evidente que su aplicación es sucesiva; no se puede calcular por ejemplo, L3 sin haber determinado previamente a L1 y L2 .
ENTRASTADOS Y LA RAIZ DOCEAVA DE DOS Esta es otra cantidad mágica que se menciona en estos menesteres, su deducción es similar a lo trabajado, aunque un poco mas difícil pues se debe proceder de adelante para atrás. O sea que ahora supondremos que conocemos a L1 y desconocemos D, de la ecuación 7 se tiene: L1 = J D Despejando a D se llega a: D = L1 / J = (1 /J) L1 Generalizando en forma similar a lo ya trabajando, se tiene que disponiendo de la distancia a cualquier traste se puede calcular D con: D = (1 / J) n L n (13) Procediendo a sustituir aquí los valores correspondientes a las ecuaciones 1 y 3, se obtiene que: 1 = (1 / J)12 (0.5) Despejando el inverso de J, se determina que: 1 /J 12 = 1 / 0.5 = 2 1 / J = 2 1/12 1/J = 1. 059 (14) Considerando que 1/J = K / K-1, se obtiene el valor de K = 17.817 como se hizo anteriormente; en conclusión la raíz doceava de dos es una vía para el cálculo de esta constante y no se usa directamente en los entrastados ENTRASTADO CON ECUACIÓN LOGARÍTMICA Buscando una fórmula que relacione el número de traste con su distancia medida a partir del puente, se llega a: L n = 10 ß n (15) Donde ß = pendiente de una ecuación logarítmica. Esta formula también permite establecer los entrastados siempre que se conozca “ß”, la cual puede determinarse mediante el ajuste por mínimos cuadrados de las distancias al número de trastes. Sin estos datos también se puede determinar pues la expresión 15 es equivalente a la ecuación 8: 10 ß n = Jn D despejando a “ß” se tiene: ß n = Log ( J n D) y por lo tanto: ß = ( Log ( J n D ) ) / n (16) Sustituyendo los valores ya mencionados de J y de D, se tiene para cualquier traste, por ejemplo el doceavo: ß = ( Log (0.944 12 (1 ) ) / 12 y al operar ß = (Log ( 0.5) ) / 12 = - 0.301 / 12 Por lo cual: ß = – 0.025 (17) Esta cantidad permite calcular los entrastados con la ecuación 15, parece complicada, pero también es útil para obtener K y J a partir del ajuste de una recta logarítmica al tamaño de los elementos sonoros, lo cual tiene gran valor cuando se trabaja con la relación de estos con los sonidos en cualquier tipo de instrumentos, por ejemplo en la “kalimba”, he encontrado que el valor de K para las láminas metálicas, es cercano al doble del que se usa en los instrumentos de cuerda. MÉTODO GRÁFICO DE ENTRASTADO POR TRIÁNGULOS SEMEJANTES Esta solución geométrica (de la cual como se vera, no soy amigo), se basa en el uso de la reducción de un 18vo de la longitud en cada paso a un semitono, utilizando un triángulo rectángulo cuyos elementos son: a) Cateto Mayor: es un segmento sobre la línea media del mástil del instrumento, cuya dimensión es la distancia de puente a ceja, en el centro de este segmento se ubica el 12vo traste. b) Cateto Menor: es un segmento ubicado en la línea de la ceja del instrumento y que forma un ángulo recto con el anterior. El tamaño de este cateto es una 18va parte de la distancia del puente a la ceja (Para más exactitud, en vez de usar K’, el cateto mayor se puede dividir entre K = 17.817). c) Hipotenusa: es la línea oblicua que une el extremo superior del cateto mayor, con el superior del cateto menor. Una vez definido y trazado el triángulo anterior en una hoja de papel, se hace funcionar para definir la ubicación de cada traste, mediante lo siguiente: a) Construcción de los triángulos semejantes: el cateto mayor y la hipotenusa se mantendrán en su posición permanentemente, el tamaño del triángulo se irá reduciendo conforme avance el cateto menor, al establecer la posición de cada traste. En cualquier sitio se mantendrá la relación de tamaños entre los catetos de 18 : 1. b) El tamaño del cateto menor, definido por su intersección con las líneas del cateto menor y la hipotenusa, establece la distancia que existe desde su posición al siguiente traste. Partiendo de la posición inicial, se proyecta su tamaño sobre el cateto mayor, para ubicar el primer traste y se traza en ese sitio un nuevo cateto menor, cuya nueva dimensión define la separación a la que se ubicará el segundo traste y así sucesivamente. En estas operaciones es útil el uso de compás c) Como comprobación, la ubicación del 12vo traste, debe ser la mitad de la distancia del puente a la ceja. Las limitaciones del método presentado son inherentes a la posibilidad de un error sistemático en el dibujo y que influye lo agudo de la punta del lápiz. No obstante ahorra las operaciones numéricas. LAS REGLAS DE LAUDERO Los lauderos disponen de reglas especiales con varias escalas que marcan la ubicación de los trastes, su empleo consiste en buscar dos líneas que coincidan con el puente y la ceja del instrumento, con lo que automaticamente se tiene el entrastado. Estos reglas son herramientas especializadas que permiten realizar el trabajo con buena aproximación, pero la generación de las escalas empleadas es un misterio para el profano, el cual se pretende haber aclarado, pues para generarlas basta aplicar los resultados del cuadro 2, a los tamaños típicos de los instrumentos que se construyan. ENTRASTADO RANCHERO Todo lo presentado anteriormente, no es aplicable por campesinos analfabetas que han demostrado ser capaces de construir instrumentos razonablemente funcionales. La pregunta es ¿cómo podrían hacerlo?, una alternativa es a oído, otra es mediante mediciones sencillas fundamentadas en lo siguiente: a) En instrumentos tradicionales de cuerdas, sobre todo los de desempeño rítmico-armónico, como algunas Jaranas y más característicamente en la vihuela mexicana (la cual es de fondo abombado), es costumbre colocar cinco trastes solamente. b) Aplicando cualquiera de los métodos de ubicación de entrastados, ya discutidas encontraremos que el quinto traste se localiza aproximadamente a los 3 /4 partes de la longitud de puente a ceja (Cuadro 2). c) El promedio de la distancia entre los cinco primeros trastes es (L 0 - L 5 ) / 5 = 0.05 y las desviaciones con respecto a esta cantidad son pequeñas (cuadro 3). Esto permite plantear una solución aplicable para quien no disponga siquiera de una regla, pues en campo es factible conseguir una cuerda que no se estire, con ella medir la distancia del puente a la ceja, por dobleces de las cuerdas dividirla en cuatro partes iguales quedarse con tres de ella y con esta distancia definir la localización del quinto traste. Una vez logrando esto, dividir ese intervalo en cinco partes iguales, ya sea a “ojimetro o tanteometro o palpitometro”, o bien usando la cuerda; de esta manera se tiene una distancia constante que se dejará entre cada uno de los cinco trastes. Las desviaciones que se tienen con el “método ranchero” no son grandes y aún existe la posibilidad de un ajuste “a sentimiento” y hacer un distanciado decreciente, o bien usarlas como base para un ajuste a oído. Lo cual es aplicable sobre todo en la vihuela cuyo entrastado se hace tradicionalmente por amarres. DISTRIBUCIÓN DE TRASTES DE OÍDO Personas con un buen entrenamiento auditivo, podrían lograr determinar la posición del entrastado, pisando contra el diapasón y haciendo sonar las cuerdas hasta lograr la distribución semitonal, otra opción es la de quienes tienen altamente memorizadas ciertas melodías y buscan los sonidos requeridos sobre el diapasón. Modernamente, la búsqueda puede hacerse usando un afinador o frecuenciador cromático electrónico. COLOCACIÓN DEL PUENTE La ecuación 13 permite calcular la distancia de la ceja al diapasón, con base en la distancia del puente a un traste: D = (1 / J ) n L n Sin embargo, no es útil en la situación de un instrumento que se le haya desprendido el puente o perdido la tapa, pues no se dispone de L n; por ello es necesario considerar el complemento “S n” que va de la ceja al traste: S n = D - L n (18) Sustituyendo el segundo miembro en la fórmula13, se llega a: D - L n = (1/ J ) n L n - L n S n = ( ( 1/ J ) n L n ) - L n Como L n = J n D de acuerdo con la ecuación 8, por lo tanto: S n = (1/ J ) n ( J n D ) - (J n D) S n = (Jn/ J n) D - (J n D) = 1 D - J n D Sacando el factor común se llega a: S n = (1 - Jn ) D Despejando “D” que es la cantidad buscada se tiene: D = S n / (1- J n) = S n / (1 - 0.944 n) (19) Esta formula permite resolver el problema de colocar el puente en un instrumento en que esta parte se haya desprendido o se hubiera perdido la tapa, se puede aplicar para cada traste y obtener un promedio con el cual se definiría D y por lo tanto el sitio donde pegar el puente medido desde la ceja. En el cuadro 4 se muestra su aplicación, en la primera parte se presentan los cálculos empleando todos los decimales y la determinación de D es exacta; en la segunda se supone una situación más realista, con mediciones redondeadas a milímetros, la estimación de D es buena.
BIBLIOGRAFIA Y OTRAS FUENTES
Cuadro 1. Constantes Usadas en el Cálculo de Entrastados
Cuadro 2. Ubicaciones proporcionales del entrastado (Ln) por distintos métodos ( L 0 = 1 )
Cuadro 3. Determinación del entrastado de una guitarra con distancia de puente a ceja de K’ = 65 cm, usando los coeficientes del cuadro 2 (Operación C x K’ ).
Cuadro 4. Cálculo de la distancia del puente a la ceja a partir de la distancia de los trastes a la ceja (Datos tomados del cuadro 3).
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